ET658 - Processos Estocásticos

Bacharelado em Ciências Atuariais/Contábeis da UFPE

Informação e material da disciplina ministrada de forma remota em 2021.1

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SOBRE A DISCIPLINA

Visão geral

A Teoría das Probabilidades é uma sub-área da Matemática usada para a representação e o estudo de fenômenos aleatórios. Na sua oferta de 2021.1, a disciplina ET658 - Processos Estocásticos, de nível de graduação, reúne conceitos introdutórios relacionados ao estudo de processos estocásticos discretos e continuos. Os conceitos serão ministrados guiando o(a) estudante desde as noções básicas de cadeias de Markov até o entendimento de conceitos como os de recorrência e transitoriedade e de distribuição estacionária. Os resultados apresentados serão aplicados à resolução de problemas de diferente tipo. Ao estudar as cadeias de Markov a tempo continuo se dará especial énfase nas aplicações relacionadas com modelos de filas. Assim, o conteúdo da disciplina constitui uma introdução de modelos, técnicas e resultados de utilidade para quem tem interesse em aprofundar seu conhecimento para trabalhar na modelagem de fenômenos aleatórios.

PLANO DE TRABALHO

Atividades e avaliação

A disciplina será ministrada de forma remota no período de setembro a dezembro de 2021. Ao longo do semestre serão indicados exercícios com o intuito de fixar conceitos. Haverá duas avaliações, realizadas de forma assíncrona, formadas por exercícios selecionados. O conteúdo de cada aula será disponibilizado com antacedência em formato a confirmar (Slides e/ou material bibliográfico indicado). A dinâmica proposta será a de duas aulas síncronas por semana, complementadas por atividades assíncronas na forma de leitura sugerida e/ou resolução de listas de exercícios. Para uma revisão dos conceitos básicos de probabilidade consulte o material disponível no site da disciplina ET581 - Probabilidade 1 e/ou as referências recomendadas em aquele site.

BIBLIOGRAFÍA

Material disponibilizado e bibliografía sugerida

O material disponibilizado nesta página (slides, notas, gabaritos), ou pelo Classroom da turma é suficiente para o acompanhamento da disciplina. Trata-se de um material elaborado usando como referência livros bem conhecidos da Teoria das Probabilidades e de Processos Estocásticos.

Bibliografia de Processos Estocásticos

  • Grinstead, C.M. and Snell L.J. Introduction to Probability, 2a ed., AMS, 1997.

  • Ross, S. Introduction to Probability Models. 10th ed. Academic Press. 2010
     

Bibliografia para revisão de Probabilidade

  • Dantas, C. A. B. Probabilidade: Um curso introdutorio. USP, 2ed, 2000.

  • Ross, S. Probabilidade: Um curso moderno com aplicações, 8a ed., Bookman, 2010.

Relação de aulas

A disciplina está formada por um conjunto de tópicos organizados em aulas teóricas e listas de exercícios. O conteúdo de cada aula será disponibilizado com antacedência em formato a confirmar (Slides e/ou material bibliográfico indicado). 

Atividades síncronas: 3as (15h00 a 16h30) e 5as (14h00 a 15h00).

Local: Google Meet (link a ser disponibilizado por e-mail).

Parte 1 - Cadeias de Markov a tempo discreto
  1. Motivação.

  2. Revisão: probabilidade, probabilidade condicional e independência.

  3. Revisão: variáveis aleatórias.
  4. Processos estocásticos e Cadeias de Markov a tempo discreto (CMTD).
  5. Cadeias de Markov a tempo discreto: exemplos e aplicações.

  6. Critérios de recurrência e transiência.

  7. Recorrência e transiência do passeio aleatório.

  8. Análise do primeiro passo.

  9. Distribuição estacionária.
  10. Convergência à distribuição estacionária.

  11. Prova 1 (assíncrona). Lista de exercícios disponibilizada em 09/11, cuja resolução deve ser entregue até o dia 12/11 às 18h00.

Parte 2 - Processos de Poisson e cadeias de Markov a tempo continuo
  1. Processos de Poisson.

  2. Problemas e aplicações.

  3. Generalizações de processos de Poisson.

  4. Cadeias de Markov a tempo continuo.

  5. Probabilidades de transição e probabilidades limite.
  6. Problemas e aplicações.

  7. Modelos de filas.

  8. Modelos de filas.

  9. Prova 2 (assíncrona). Lista de exercícios disponibilizada em 09/12, cuja resolução deve ser entregue até o dia 13/12 às 18h00.
Nota final

A nota final na disciplina será calculada pela média aritmética das notas das duas avaliações aplicadas.

Outras datas importantes:

  • Segunda chamada: 14/12/2021 (assíncrona)

  • Prova Final: 21/12/2021 (assíncrona)

Tópicos de Aula (slides, listas etc)
monitor

Recomendação: Vídeo aulas de Introdução à Probabilidade e Estatística pelo Prof. Rafael Grisi para a UFABC.

Lápis e bloco de notas

Lista 0: Lista de exercícios para revisão de probabilidade e variáveis aleatórias.

Lápis e bloco de notas

Lista 1: Lista de exercícios sobre cadeias de Markov a tempo discreto.

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Aula 10: Distribuição estacionária de uma cadeia de Markov a tempo discreto.

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Aula 13: Superposição de Processos de Poisson. Processo de Poisson composto.

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Material sugerido: Material da disciplina ET581 - Probabilidade 1, ministrada pelo Prof. Pablo Rodriguez na UFPE em 2020.2.

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Leitura sugerida: Artigo de divulgação First Links in the Markov Chain, de Brian Hayes.

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Aula 5: Recorrência e transiência. Noção de classes de estados e irredutibilidade.

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Aula 11: Processos de Poisson: motivação e revisão de propriedades básicas.

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Aula 14: Processo de Poisson não homogêneo e processos de Poisson bidimensional. CMTC. 

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Aula 1 (revisão): Probabilidade, probabilidade condicional e independência

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Aula 3: Processos estocásticos e cadeias de Markov a tempo discreto. Primeiras definições.

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Aula 7: Recorrência do passeio aleatório. Método de análise do primeiro passo.

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Aula 12: Processos de Poisson:  propriedades básicas e resolução de problemas.

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Aula 15: CMTC. Exemplos de cadeias de nascimento e morte. 

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Aula 2 (revisão): Variáveis aleatórias discretas e distribuições clássicas.

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Aula 4: Problemas e exemplo de cadeias de Markov a tempo discreto. 

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Aula 9: Análise do primeiro passo e o problema da ruína do jogador.

Lápis e bloco de notas

Lista 2: Lista de exercícios sobre processos de Poisson.

Lápis e bloco de notas

Lista 3: Exercícios sobre cadeias de Markov a tempo continuo.