PGE966 - Processos Estocásticos

Pós-graduação em Estatística da UFPE

Informação e material da disciplina ministrada de forma remota no 1º Semestre de 2021

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SOBRE A DISCIPLINA

Visão geral

A Teoría das Probabilidades é uma sub-área da Matemática usada para a representação e o estudo de fenômenos aleatórios. Desta forma, a disciplina torna-se fundamental para quem deseja desenvolver pesquisa original na área de Probabilidade e Estatística. Na sua oferta de 2021.1, a disciplina PGE966 - Processos Estocásticos, de nível de mestrado e de doutorado, reúne conceitos introdutórios relacionados ao estudo de processos estocásticos discretos e continuos. Os conceitos serão ministrados guiando o(a) estudante desde as noções básicas de cadeias de Markov até o entendimento de conceitos como os de recorrência e transitoriedade e de distribuição estacionária. Os resultados apresentados serão ilustrados através de aplicações em modelos probabilísticos clássicos como os passeios aleatórios, os processos de ramificação e os modelos de filas, entre outros. Assim, o conteúdo da disciplina constitui uma introdução de modelos, técnicas e resultados de utilidade para quem tem interesse em aprofundar seu conhecimento para trabalhar em linhas de pesquisa relacionadas à Teoria da Probabilidade e suas aplicações.

PLANO DE TRABALHO

Atividades e avaliação

A disciplina será ministrada de forma remota no período de 05 de abril de 2021 a 23 de julho de 2021. Ao longo do semestre serão indicados exercícios com o intuito de fixar conceitos. Haverá duas avaliações, sendo uma delas formada por exercícios selecionados e a segunda pela apresentação de um seminário. O conteúdo de cada aula será disponibilizado com antacedência em formato a confirmar (Slides e/ou material bibliográfico indicado). A dinâmica proposta será a de duas reuniões por semana:

  • uma dedicada à apresentação dos conceitos teóricos;

  • outra dedicada à discussão de argumentos, problemas e aplicações dos conceitos apresentados na aula anterior.

Para uma revisão dos conceitos básicos de probabilidade consulte o material disponível no site da disciplina PGE950 - Probabilidade e/ou as referências recomendadas em aquele site.

Relação de aulas

A disciplina está formada por um conjunto de tópicos organizados em aulas teóricas, listas de exercícios e seminários de avaliação. O conteúdo de cada aula será disponibilizado com antacedência em formato a confirmar (Slides e/ou material bibliográfico indicado). 

Reuniões virtuais: 2as (15h00 a 17h00) e 4as (14h00 a 16h00).

Local: Google Meet (link a ser disponibilizado por e-mail).

Tópicos de aula
  1. Motivação.

  2. Revisão: probabilidade, axiomas e propriedades.

  3. Revisão: probabilidade condicional e independência.

  4. Revisão: variáveis aleatórias.

  5. Cadeias de Markov a tempo discreto (CMTD).

  6. Critérios de recurrência e transiência.

  7. Aplicações para o estudo dos passeios aleatórios.

  8. CMTD com espaços de estado finitos.

  9. Análise do primeiro passo.

  10. Cadeias de nascimento e morte. Acoplamento.

  11. Processos de ramificação.

  12. Processos de ramificação em meios variáveis.

  13. Distribuição estacionária.
  14. Convergência à distribuição estacionária.

  15. Discussão de problemas e aplicações.

  16. Discussão de problemas e aplicações.

  17. Processos de Poisson.

  18. Construção gráfica de processos de Poisson.
  19. Generalizações de processos de Poisson.

  20. Propriedades e aplicações dos processos de Poisson.

  21. Cadeias de Markov a tempo continuo.

  22. Probabilidades de transição e probabilidades limite.

  23. Processos de renovação: definições e propriedades.

  24. Processos de renovação: teoremas limite e aplicações.

  25. Teoria de filas: primeiras definições e exemplos.

  26. Teoria de filas: modelos exponenciais e variantes.

  27. Seminários.

  28. Seminários.

  29. Seminários.

  30. Seminários.

Nota final

A nota final na disciplina será calculada pela média aritmética das notas das duas avaliações aplicadas. O conceito A será atribuído para quem tiver nota final maior ou igual a 8,5. Estudantes com nota final maior ou igual a 7,0 e menor que 8,5 ficarão com conceito B. O conceito C será atribuído para quem tiver nota final maior ou igual a 6,0 e menor que 7,0. Abaixo de 6,0 o conceito será D.

Referências e material sugerido!

01/

Rinaldo B. Schinazi. Classical and Spatial Stochastic Processes. 1st ed. Birkhäuser. 1999. Ver também: Uma introdução aos processos estocásticos espaciais, IMPA, 1995.

02/

Sheldon M. Ross. Introduction to Probability Models. 10th ed. Academic Press. 2010.

03/

P. Ferrari, A. Galves. Acoplamento em processos estocásticos. SBM. IMPA. Rio de Janeiro. 1997.

04/

P. Brémaud. Markov Chains. Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues. Springer. 1999.

Tópicos de Aula (slides, listas etc)

O material da disciplina está em constante atualização mas pode conter erros. Veja aqui uma lista atualizada de correções!

(atualizado em 17 de maio de 2021)

Semana 1

Problemas de probabilidade

Motivação da disciplina com exemplos e revisão de conceitos básicos de teoria das probabilidades.

Semana 4

Recurrência e transiência no passeio aleatório

Propriedades de recurrência e transiência. Aplicação para o passeio aleatório em Zd.

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Semana 7

Distribuição estacionária de uma cadeia de Markov

Noção de distribuição estacionária: existência e convergência.

Semana 10

Construção de processos de Poisson

Definição construtiva de processos de Poisson d-dimensionais.

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Semana 13

Introdução à teoria das filas

Exemplos e aplicações de modelos de teoria das filas.

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Semana 2

Problemas de probabilidade

Motivação da disciplina com exemplos e revisão de conceitos básicos de teoria das probabilidades.

Semana 5

Análise do primeiro paso e acoplamento

Método de anáilse do primeiro passo e exemplos de acoplamento através de cadeias de nascimento e morte.

Semana 8

Problemas e aplicações de CMTD

Discussão da prova da convergência à distribuição estacionária. Exemplos.

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Semana 11

Cadeias de Markov a tempo contínuo

Primeiras definições de CMTC. Cadeias de nascimento e morte.

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Semana 14

Seminários de tópicos especiais

Discussão de tópicos especiais não abordados na disciplina.

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Semana 3

Cadeias de Markov a tempo discreto

Primeiras definições da teoría das cadeias de Markov a tempo discreto. Recurrência e transiência.

Semana 6

Processos de ramificação: sobrevivência e extinção

Processos de ramificação e processos de ramificação em meios variáveis

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Semana 9

Processos de Poisson: motivação

Distribuições Poisson e Exponencial. Motivação de processos de Poisson.

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Semana 12

Introdução aos processos de renovação

Definição, propriedades e aplicações dos processos de renovação.

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Semana 15

Seminários de tópicos especiais

Discussão de tópicos especiais não abordados na disciplina.

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