PGE966 - Processos Estocásticos
Pós-graduação em Estatística da UFPE
Informação e material da disciplina ministrada de forma remota no 1º Semestre de 2021

SOBRE A DISCIPLINA
Visão geral
A Teoría das Probabilidades é uma sub-área da Matemática usada para a representação e o estudo de fenômenos aleatórios. Desta forma, a disciplina torna-se fundamental para quem deseja desenvolver pesquisa original na área de Probabilidade e Estatística. Na sua oferta de 2021.1, a disciplina PGE966 - Processos Estocásticos, de nível de mestrado e de doutorado, reúne conceitos introdutórios relacionados ao estudo de processos estocásticos discretos e continuos. Os conceitos serão ministrados guiando o(a) estudante desde as noções básicas de cadeias de Markov até o entendimento de conceitos como os de recorrência e transitoriedade e de distribuição estacionária. Os resultados apresentados serão ilustrados através de aplicações em modelos probabilísticos clássicos como os passeios aleatórios, os processos de ramificação e os modelos de filas, entre outros. Assim, o conteúdo da disciplina constitui uma introdução de modelos, técnicas e resultados de utilidade para quem tem interesse em aprofundar seu conhecimento para trabalhar em linhas de pesquisa relacionadas à Teoria da Probabilidade e suas aplicações.
PLANO DE TRABALHO
Atividades e avaliação
A disciplina será ministrada de forma remota no período de 05 de abril de 2021 a 23 de julho de 2021. Ao longo do semestre serão indicados exercícios com o intuito de fixar conceitos. Haverá duas avaliações, sendo uma delas formada por exercícios selecionados e a segunda pela apresentação de um seminário. O conteúdo de cada aula será disponibilizado com antacedência em formato a confirmar (Slides e/ou material bibliográfico indicado). A dinâmica proposta será a de duas reuniões por semana:
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uma dedicada à apresentação dos conceitos teóricos;
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outra dedicada à discussão de argumentos, problemas e aplicações dos conceitos apresentados na aula anterior.
Para uma revisão dos conceitos básicos de probabilidade consulte o material disponível no site da disciplina PGE950 - Probabilidade e/ou as referências recomendadas em aquele site.
Relação de aulas
A disciplina está formada por um conjunto de tópicos organizados em aulas teóricas, listas de exercícios e seminários de avaliação. O conteúdo de cada aula será disponibilizado com antacedência em formato a confirmar (Slides e/ou material bibliográfico indicado).
Reuniões virtuais: 2as (15h00 a 17h00) e 4as (14h00 a 16h00).
Local: Google Meet (link a ser disponibilizado por e-mail).
Tópicos de aula
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Motivação.
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Revisão: probabilidade, axiomas e propriedades.
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Revisão: probabilidade condicional e independência.
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Revisão: variáveis aleatórias.
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Cadeias de Markov a tempo discreto (CMTD).
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Critérios de recurrência e transiência.
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Aplicações para o estudo dos passeios aleatórios.
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CMTD com espaços de estado finitos.
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Análise do primeiro passo.
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Cadeias de nascimento e morte. Acoplamento.
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Processos de ramificação.
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Processos de ramificação em meios variáveis.
- Distribuição estacionária.
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Convergência à distribuição estacionária.
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Discussão de problemas e aplicações.
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Discussão de problemas e aplicações.
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Processos de Poisson.
- Construção gráfica de processos de Poisson.
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Generalizações de processos de Poisson.
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Propriedades e aplicações dos processos de Poisson.
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Cadeias de Markov a tempo continuo.
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Probabilidades de transição e probabilidades limite.
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Processos de renovação: definições e propriedades.
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Processos de renovação: teoremas limite e aplicações.
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Teoria de filas: primeiras definições e exemplos.
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Teoria de filas: modelos exponenciais e variantes.
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Seminários.
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Seminários.
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Seminários.
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Seminários.
Nota final
A nota final na disciplina será calculada pela média aritmética das notas das duas avaliações aplicadas. O conceito A será atribuído para quem tiver nota final maior ou igual a 8,5. Estudantes com nota final maior ou igual a 7,0 e menor que 8,5 ficarão com conceito B. O conceito C será atribuído para quem tiver nota final maior ou igual a 6,0 e menor que 7,0. Abaixo de 6,0 o conceito será D.
Referências e material sugerido!
01/
Rinaldo B. Schinazi. Classical and Spatial Stochastic Processes. 1st ed. Birkhäuser. 1999. Ver também: Uma introdução aos processos estocásticos espaciais, IMPA, 1995.
02/
Sheldon M. Ross. Introduction to Probability Models. 10th ed. Academic Press. 2010.
03/
P. Ferrari, A. Galves. Acoplamento em processos estocásticos. SBM. IMPA. Rio de Janeiro. 1997.
04/
P. Brémaud. Markov Chains. Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues. Springer. 1999.
Tópicos de Aula (slides, listas etc)
O material da disciplina está em constante atualização mas pode conter erros. Veja aqui uma lista atualizada de correções!
(atualizado em 17 de maio de 2021)

Semana 1
Problemas de probabilidade
Motivação da disciplina com exemplos e revisão de conceitos básicos de teoria das probabilidades.

Semana 4
Recurrência e transiência no passeio aleatório
Propriedades de recurrência e transiência. Aplicação para o passeio aleatório em Zd.

Semana 10
Construção de processos de Poisson
Definição construtiva de processos de Poisson d-dimensionais.

Semana 13
Introdução à teoria das filas
Exemplos e aplicações de modelos de teoria das filas.

Semana 2
Problemas de probabilidade
Motivação da disciplina com exemplos e revisão de conceitos básicos de teoria das probabilidades.

Semana 5
Análise do primeiro paso e acoplamento
Método de anáilse do primeiro passo e exemplos de acoplamento através de cadeias de nascimento e morte.

Semana 8
Problemas e aplicações de CMTD
Discussão da prova da convergência à distribuição estacionária. Exemplos.

Semana 11
Cadeias de Markov a tempo contínuo
Primeiras definições de CMTC. Cadeias de nascimento e morte.

Semana 14
Seminários de tópicos especiais
Discussão de tópicos especiais não abordados na disciplina.

Semana 3
Cadeias de Markov a tempo discreto
Primeiras definições da teoría das cadeias de Markov a tempo discreto. Recurrência e transiência.

Semana 6
Processos de ramificação: sobrevivência e extinção
Processos de ramificação e processos de ramificação em meios variáveis

Semana 9
Processos de Poisson: motivação
Distribuições Poisson e Exponencial. Motivação de processos de Poisson.

Semana 12
Introdução aos processos de renovação
Definição, propriedades e aplicações dos processos de renovação.

Semana 15
Seminários de tópicos especiais
Discussão de tópicos especiais não abordados na disciplina.