PGE977 - Tópicos Especiais em Processos Estocásticos

Pós-graduação em Estatística da UFPE

Informação e material da disciplina ministrada de forma remota no 2º Semestre de 2020

SOBRE A DISCIPLINA

Visão geral

A Teoría das Probabilidades é uma sub-área da Matemática usada para a representação e o estudo de fenômenos aleatórios. Desta forma, a disciplina torna-se fundamental para quem deseja desenvolver pesquisa original na área de Probabilidade e Estatística. Na sua oferta de 2020.2, a disciplina PGE977 - Tópicos Especiais em Processos Estocásticos, de nível de mestrado e de doutorado, reúne conceitos introdutórios relacionados ao estudo de processos estocásticos especiais e estruturas aleatórias. Os conceitos serão ministrados guiando o(a) estudante desde as noções básicas de cadeias de Markov até o entendimento de diversos modelos probabilísticos especiais como os processos de ramificação e alguns modelos de sistema de partículas interagentes. A disciplina também incluirá o estudo de modelos de percolação, desde o modelo independente de elos até modelos de percolação propostos e estudados recentemente na literatura.  Assim, o conteúdo da disciplina constitui uma introdução de modelos, técnicas e resultados de utilidade para quem tem interesse em aprofundar seu conhecimento para trabalhar em linhas de pesquisa relacionadas à Teoria da Probabilidade e suas aplicações.

PLANO DE TRABALHO

Atividades e avaliação

A disciplina será ministrada de forma remota no período de 16 de novembro de 2020 a 24 de fevereiro de 2021. Ao longo do semestre serão indicados exercícios com o intuito de fixar conceitos. Haverá duas avaliações, sendo uma delas formada por exercícios selecionados e a segunda pela apresentação de um seminário. O conteúdo de cada aula será disponibilizado com antacedência em formato a confirmar (Slides e/ou material bibliográfico indicado). A dinâmica proposta será a de duas reuniões por semana:

  • 2as (14h00 a 16h00) dedicadas à apresentação de conceitos teóricos;

  • 5as (14h00 a 16h00) dedicadas à discussão de argumentos, problemas e aplicações dos conceitos apresentados na aula anterior.

Para uma revisão dos conceitos básicos de probabilidade consulte o material disponível no site da disciplina PGE950 - Probabilidade e/ou as referências recomendadas em aquele site.

Relação de aulas

A disciplina está formada por um conjunto de tópicos organizados em aulas teóricas seguidas de seminários de avaliação. O conteúdo de cada aula será disponibilizado com antacedência em formato a confirmar (Slides e/ou material bibliográfico indicado). 

Reuniões virtuais: 2as (14h00 a 16h00) e 5as (14h00 a 16h00).

Local: Google Meet (link a ser disponibilizado por e-mail).

Tópicos de aula
  1. Motivação: problemas de probabilidade.

  2. Motivação: problemas de probabilidade.

  3. Problema da ruína do jogador e passeios aleatórios.

  4. Modelo dos sapos nos inteiros.

  5. Cadeias de Markov a tempo discreto.

  6. Critérios de recurrência e transitoriedade.

  7. Aplicações para o estudo dos passeios aleatórios.

  8. CMTD com espaços de estado finitos.

  9. Análise do primeiro passo.

  10. Acoplamento.

  11. Processos de ramificação.

  12. Processos de ramificação em meios variáveis.

  13. Revisão de passeios aleatórios.
  14. Percolação independente de elos.

  15. Percolação em árvores.

  16. Percolação acessível.

  17. Desigualdades.

  18. Outras propriedades de percolação.

  19. Percolação orientada, outros modelos de percolação.

  20. Processos de Poisson.

  21. Generalizações de processos de Poisson.

  22. Modelo de percolação contínua

  23. Cadeias de Markov a tempo continuo.

  24. Cadeias de Markov a tempo continuo.

  25. Processo de contato.

  26. Processo de contato: sobrevivência e extinção.

  27. Tópicos especiais.

  28. Tópicos especiais.

  29. Seminários.

  30. Seminários.

Nota final

A nota final na disciplina será calculada pela média aritmética das notas das duas avaliações aplicadas. O conceito A será atribuído para quem tiver nota final maior ou igual a 8,5. Estudantes com nota final maior ou igual a 7,0 e menor que 8,5 ficarão com conceito B. O conceito C será atribuído para quem tiver nota final maior ou igual a 6,0 e menor que 7,0. Abaixo de 6,0 o conceito será D.

Referências e material sugerido!

01/

Livro: Geoffrey Grimmett. Probability on Graphs. 1st ed. Cambridge. 2010.

Tópicos: Percolação independente de elos, percolação orientada, processo de contato.

09/

Artigo: E. Lebensztayn, F. Machado, S. Popov, An improved upper bound for the critical probability of the frog model on homogeneous trees, J. Stat. Phys. 119 (2005), no. (1/2), 331-345.

Tópico: modelo dos sapos em árvores.

02/

Livro: Rinaldo B. Schinazi. Classical and Spatial Stochastic Processes. 1st ed. Birkhäuser. 1999. Ver também: Uma introdução aos processos estocásticos espaciais, IMPA, 1995.

Tópicos: Cadeias de Markov, passeios aleatórios, processos de ramificação, percolação em árvores.

03/

Livro: Sheldon M. Ross. Introduction to Probability Models. 10th ed. Academic Press. 2010.

Tópicos: cadeias de Markov, processos de Poisson.

04/

Notas: Luiz Renato Gonçalves Fontes. Notas em Percolação. IME-USP. 1996.

Tópicos: percolação independente de elos.

05/

Notas: P. Ferrari, A. Galves. Acoplamento em processos estocásticos. SBM. IMPA. Rio de Janeiro. 1997.

Tópicos: acoplamento, processos de Poisson.

06/

Artigo: E. Lebensztayn, P.M. Rodríguez, The disk-percolation model on graphs, Statist. Probab. Lett. 78 (2008), no. 14, 2130-2136.

Tópico: percolação de discos.

07/

Artigo: C.F. Coletti, R.J. Gava, P.M. Rodriguez, On the existence of accessibility in a tree-indexed percolation model, Phys. A 492 (2018), 382-388.

Tópico: percolação accessível.

08/

Artigo: N. Gantert and P. Schmidt, Recurrence for the frog model with drift on Z, Markov Process. Related Fields 15 (2009), no. 1, 51-58.

Tópico: modelo dos sapos nos inteiros.

10/

Notas: P. M. Rodriguez, Modelos probabilísticos, In: Actas del XV Congreso "Dr. Antonio A. R. Monteiro" (2019). In Press.

Tópico: passeio aleatório e modelo dos sapos nos inteiros, percolação de elos e percolação accessível.

11/

Notas: P. M. Rodriguez, Modelos probabilísticos discretos y aplicaciones, EMALCA - Colombia (2017). 

Tópico: passeio aleatório, cadeias de Markov a tempo discreto.

12/

Livro: Geoffrey Grimmett. Percolation. 2nd ed. Springer. 1999.

Tópico: Percolação.

Tópicos de Aula (slides, listas etc)

Semana 1

Problemas de probabilidade

Motivação da disciplina com exemplos e revisão de conceitos básicos de teoria das probabilidades.

Slides - Exercícios sugeridos - Material sugerido: ver PGE950

Semana 4

Cadeias de Markov a tempo discreto II

Propriedades de recurrência e transiência. Aplicação para o passeio aleatório em Zd.

Slides - Material sugerido: referência 11 (Capítulo 2)

Semana 7

Revisão de passeios aleatórios

Detalhes da prova de transiência do passeio aleatório em Z3 e Z4.

Slides - Aviso: entregar exercícios 2, 5, 8, 16 e 18 da Lista 1 no dia 25/01.

Semana 10

Outros modelos de percolação

Percolação orientada, percolação de sítios e percolação de discos.

Slides - Material sugerido: ref. 1 (Seção 3.4), ref. 12 (seção 1.6), ref. 6. 

Semana 13

Introdução às cadeias de Markov a tempo contínuo

Primeiras definições de CMTC. Motivação do processo de contato.

Material sugerido: ref. 3 (Capítulo 6) e ref. 1 (Seção 10.2).  

Semana 2

Ruína do jogador e passeios aleatórios

Problema da ruína do jogador e primeiro contato com conceitos de passeios aleatórios.

Slides - Material sugerido: referência 10 (Seção 2)

Semana 5

Análise do primeiro paso e acoplamento

Método de anáilse do primeiro passo e exemplos de acoplamento através de cadeias de nascimento e morte.

Slides - Material sugerido: referência 2 (Seções I.4 e I.5) - Exercícios

Semana 8

Percolação independente de elos

Transição de fase para o modelo de percolação. Propriedades.

Slides - Material sugerido: referência 4 (Capítulo 1) 

Semana 11

Processos de Poisson: motivação

Distribuições Poisson e Exponencial. Motivação de processos de Poisson.

Slides - Material sugerido: ref. 3 (Capítulo 5). 

Semana 14

Seminários de tópicos especiais

(a) Processo de contato; (b) Processos de ramificação em meios variáveis.

Seminários ministrados pelos alunos da disciplina.

Semana 3

Cadeias de Markov a tempo discreto

Primeiras definições da teoría das cadeias de Markov a tempo discreto. Recurrência e transiência.

Slides - Material sugerido: referência 11 (Capítulo 2)

Semana 6

Processos de ramificação: sobrevivência e extinção

Processos de ramificação e processos de ramificação em meios variáveis

Slides - Material sugerido: referência 2 (Seção I.9) 

Semana 9

Percolação acessível em árvores

Transição de fase para o modelo de percolação acessível.

Slides - Material sugerido: referência 10 (Seção 3) 

Semana 12

Processos de Poisson: propriedades, extensões

Propriedades dos processos de Poisson, generalizações.

Material sugerido: ref. 3 (Capítulo 5). Aviso: entregar Lista 2 no dia 15/02. 

Semana 15

Seminários de tópicos especiais

(a) Percolação acessível em árvores n-áreas; (b) Grafos aleatórios.

Seminários ministrados pelos alunos da disciplina.

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