PGE950 - Probabilidade

Pós-graduação em Estatística da UFPE

Informação e material da disciplina ministrada de forma remota no 1º Semestre de 2020

SOBRE A DISCIPLINA

Visão geral

A Teoría das Probabilidades é uma sub-área da Matemática usada para a representação e o estudo de fenômenos aleatórios. Desta forma, a disciplina torna-se fundamental para quem deseja desenvolver pesquisa original na área de Probabilidade e Estatística. A disciplina PGE950 - Probabilidade, de nível de mestrado, reúne conceitos introdutórios da Teoría das Probabilidades que são ministrados guiando o(a) estudante desde as noções básicas até o necessário para construir uma base teórica sólida para estudos mais aprofundados no Programa de Pós-graduação em Estatística da UFPE. Na disciplina abordam-se tópicos que podem ser divididos em três partes bem definidas. Na primeira parte, após a definição axiomática de probabilidade, apresentam-se as principais propriedades e resultados importantes para a formulação e o trabalho com modelos probabilísticos. Isto inclui desde o estudo de probabilidade condicional e independência, até a definição de variáveis e vetores aleatórios. Na segunda parte da disciplina estabelece-se o conceito de esperança e variância, suas propriedades e aplicações, e sua extensão no contexto de distribuições condicionais. A última parte da disciplina dedica-se ao estudo de diferentes tipos de convergência de variáveis aleatórias e à formulação de teoremas limite clássicos .

PLANO DE TRABALHO

Atividades e avaliação

A disciplina será ministrada de forma remota no período de 03 de junho a 05 de outubro de 2020, calendário estabelecido pela PROPESQ para a realização do primeiro semestre de 2020. O cronograma das aulas está dividido em 3 partes: Probabilidade e vetores aleatórios, esperança matemática e esperança condicional, e convergência e teoremas limite. Ao longo do semestre serão sugeridas listas de exercícios com o intuito de fixar os conceitos ministrados pelas aulas teóricas. Cada uma das 3 partes do programa será finalizada pela aplicação de uma avaliação que poderá consistir de uma lista de exercícios. Esse será o caso, por exemplo, se as aulas presenciais não são liberadas pela UFPE até duas semanas antes da data da respectiva avaliação. O conteúdo de cada aula será disponibilizado com antacedência em formato a confirmar (Slides e/ou Vídeo Aulas). Dessa forma, a sala de aula virtual será o local de interação reservado para sanar dúvidas e aprofundar o tema em questão.

BIBLIOGRAFIA

Material disponibilizado e bibliografía adicional

O material disponibilizado nesta página (slides, notas, gabaritos) é suficiente para o acompanhamento da disciplina. Trata-se de um material elaborado usando como referência livros bem conhecidos da Teoria das Probabilidades e a experiência do professor.

Bibliografia adicional

  • Grinstead, C.M. and Snell L.J. Introduction to Probability, 2a ed., AMS, 1997.

  • James, B. Probabilidade: Um curso em nível intermediário, 3a ed., IMPA, 2013.

  • Lebensztayn, E. Exercícios de Probabilidade, 2012.

  • Rolla, L. Introdução à Probabilidade, Notas de Aula, 2019.

  • Ross, S. Probabilidade: Um curso moderno com aplicações, 8a ed., Bookman, 2010.

  • Suhov, Y. and Kelbert, M. Probability and Statistics by Example, Cambridge University Press, 2005.

Relação de aulas

Cada uma das três partes da disciplina está formada por um conjunto de até 11 aulas teóricas seguidas de uma avaliação. O conteúdo de cada aula será disponibilizado com antacedência em formato a confirmar (Slides e/ou Vídeo Aulas). Dessa forma, a sala de aula virtual será um local de interação reservado para sanar dúvidas e aprofundar o tema em questão.

Reuniões virtuais: 4as (8h00 a 10h00) e 6as (10h00 a 12h00).

Local: Google Meet (link a ser disponibilizado por e-mail).

Parte 1 - Probabilidade e vetores aleatórios
  1. Motivação. Probabilidade: Primeiras definições.

  2. Probabilidade condicional.

  3. Independência.

  4. Problemas e aplicações.

  5. Variáveis aleatórias e funções de distribuição.

  6. Variáveis aleatórias discretas.

  7. Variáveis aleatórias absolutamente continuas.

  8. Problemas e aplicações.

  9. Vetores aleatórios.

  10. Vetores aleatórios discretos e contínuos.

  11. Critérios de independência de variáveis aleatórias.

  12. Prova 1 (Lista de exercícios - 31/07/2020).

Parte 2 - Esperança (condicional) matemática
  1. Somas de variáveis aleatórias independentes.
  2. Distribuição de vetores aleatórios. Método Jacobiano.
  3. Método Jacobiano. Exemplos e aplicações.

  4. Esperança: Definição e propriedades.

  5. Esperança: Propriedades, exemplos. Integral de Stieltjes.

  6. Esperança de funções de v.a., momentos, desigualdades.

  7. Esperança da função de um vetor aleatório.

  8. Distribuições condicionais.

  9. Esperança e variância condicional.

  10. Prova 2. (Lista de exercícios - 11/08/2020).

  11. Teoremas da Convergência Monótona e Dominada.

Parte 3 - Convergência e teoremas limite
  1. Tipos de convergência: em probabilidade e quase-certa.

  2. Lei dos Grandes Números. Lema de Borel-Cantelli.

  3. Lei Forte dos Grandes Números.

  4. Funções características e convergência em distribuição.

  5. Convergência em distribuição.

  6. Teorema Central do Limite.

  7. Prova 3.

Nota final

A nota final na disciplina será calculada pela média aritmética das notas das três avaliações aplicadas. O conceito A será atribuído para quem tiver nota final maior ou igual a 8,5. Estudantes com nota final maior ou igual a 7,0 e menor que 8,5 ficarão com conceito B. O conceito C será atribuído para quem tiver nota final maior ou igual a 6,0 e menor que 7,0. Abaixo de 6,0 o conceito será D.

Aulas

1. Probabilidade

Aula 1 - 10/06

 

Videoaula:

Parte 1 (Álgebras e Sigma-álgebras)

Parte 2 (Axiomas de probabilidade e propriedades)

Slides + Lista 1 (entregar exercícios indicados até o 12/06)

Revisão de conteúdo

Discussão - 17/06

 

Material relacionado:

Gabarito Lista 1

 

Material sugerido de Combinatória: Cap. 1 de Lebensztayn (exercícios sugeridos do mesmo capítulo: 10, 14, 25, 42, 80).  

6. Variáveis aleatórias discretas

Aula 6 - 08/07

8. Problemas e exercícios

Aula 8 - 15/07

Slides

9. Vetores aleatórios

Aula 9 - 22/07

Slides

11. Criterios de independência

Aula 11 - 29/07

Slides

12. Soma de v.a. independentes

Aula 12 - 07/08

Slides  + Lista 9 (entregar exercícios indicados até o 14/08)

14. Método do Jacobiano

Aula 14 - 19/08

Slides  (Lista 11: entregar os exercícios sugeridos no Exemplo 14.1 e a prova do Teorema 14.2 por e-mail ou por WhatsApp, escrito à mão, até o dia 26/08)

17. Momentos e desigualdades

Aula 17 - 02/09

Slides

19. Distribuições condicionais

Aula 19 - 09/09

Slides

Prova 2

Lista Prova 2 - 11/09

Divulgação da Lista Prova 2.

22. LGN, Lema de Borel-Cantelli

Aula 22 - 23/09

Slides

24. Convergência em distribuição

Aula 24 - 28/09

Slides

Prova 3

Lista Prova 3 - 30/09

Divulgação da Lista Prova 3

2. Probabilidade condicional

Aula 2 - 12/06

 

Videoaula:

Parte 1 (Probabilidade condicional: primeiros passos)

Parte 2 (Teoremas da Probabilidade Total e de Bayes)

Slides + Lista 2 (entregar exercícios indicados até o 19/06)

3. Independência

Aula 3 - 19/06

 

Videoaula:

Parte 1 (Independência)

Parte 2 (Problema da ruína do jogador) - (artigo de Hayes)

Slides + Lista 3 (entregar exercícios indicados até o 26/06)

5. Variáveis aleatórias

Aula 5 - 03/07

Slides + Lista 5 (entregar exercícios indicados até o 10/07)

7. Variáveis aleatórias contínuas

Aula 7 - 10/07

Slides + Lista 7 (entregar exercícios indicados até o 22/07)

Revisão de conteúdo

Discussão - 17/07

Gabaritos

10. Vetores aleatórios

Aula 10 - 24/07

Prova 1

Lista Prova 1 - 31/07

Revisão de conteúdo, plantão de dúvidas e divulgação da Lista Prova 1. A lista deve ser entregue até o dia 05/08 (22h00).

15. Esperança matemática

Aula 15 - 21/08

Problemas e exercícios

Discussão - 31/08

Discussão sobre a resolução dos exercícios da lista 12.

18. Esperança da função de um vetor aleatório

Aula 18 - 04/09

20. Esperança condicional

Aula 20 - 11/09

Slides

21. Convergência

Aula 21 - 18/09

Slides

23. Borel-Cantelli, Lei Forte

Aula 23 - 25/09

Slides

25. Convergência em distribuição

Aula 25 - 30/09

Slides

26. Teorema Central do Limite

Aula 26 - 05/10

Slides

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